信用卡作图问题

上周午饭时间在办公室，听到了我们班里同学讨论的下面这个有意思的“信用卡作图问题”：

假设我们手里只有一张信用卡作为作图工具，只有两种允许的操作：

(1) 将平面上两个相距“不太远”（即小于信用卡边长）的点用直线相连；

(2) 从一点出发，“瞄准”任意远处的任一开区域（例如一个小圆）作射线。可以保证作出的射线延长后将与此区域相交，不过由于误差的原因，无法事先预知交于哪一点。

注意在操作(2)中，瞄准的目标只能是面积大于零的区域（即，视角范围为长度大于零的区间），而不能是单个的点。

因此，提出的问题就是：在如上假设下，能否通过“信用卡作图”将平面上相距任意远的两个点用直线相连？

为了回答这个问题，首先注意到，我们可以延长任何一条已有的线段到任意远：只需要在线段上靠近一端端点处任取两个点，将这两点放在信用卡直边上靠近一端，连接起来并继续往前延长画一段距离，然后重复上述过程即可。

接下来的构造需要用到下面的平面几何（射影几何）定理：如图所示，任给两条直线α、β，在α上任取两点A、C，在β上任取三点X、Y、Z。连接AX、AY、AZ得直线l_1、l_2、l_3，连接CX、CY、CZ得直线m_1、m_2、m_3。在直线l_i、l_j、m_i、m_j围成的四边形中，连接不含有X、Y、Z三点的另外一条对角线。则对(i,j) = (1,2), (1,3), (2,3)，如此得到的三条直线（图中的绿色虚线）将会交于同一点B，且B落在直线α上。

回到我们的问题。假设我们要连接点A与B。首先通过瞄准B附近的一个小区域，过A作足够靠近的两条射线l_1、l_2并延长至充分远。同理，瞄准A附近的一个小区域，过B作足够靠近的两条射线m_1、m_2并延长至充分远。l_1与m_1交于X，l_2与m_2交于Y。由于X与Y足够靠近，我们可以直接用信用卡将它们相连并向两边延长得直线β。

下面，在直线β上X与Y之间任取一点Z。只要使直线l_1、l_2足够靠近B，m_1、m_2足够靠近A，就可以保证线段AZ、BZ的长度都小于AB的长度（事实上，它们只比AB长度的一半略多一点）。于是，通过归纳法，我们可以连接AZ与BZ！

记AZ所在直线为l_3，BZ所在直线为m_3。接下来只要像定理中那样，连接l_1、m_3交点与m_1、l_3交点，连接l_2、m_3交点与m_2、l_3交点，这两条直线（下图中绿色虚线）交于一点C，则C必然位于直线AB上！

最后，使用归纳法，我们可以通过同样的方法，用直线连接AC和CB这两段长度小于AB长度的线段。于是，大功告成！