一道问题

好吧，这个博客好久不学术了，那就来伪学术一下...

假设有N个小球，分别标记上1, 2, ..., N。然后执行下面的操作：每一步，随机先后抽出两个小球，把第一个小球的标记修改成第二个小球的标记，再把它们放回去，如此反复，直到所有小球的标记都变成同一个数。问达到此状态所需要的步数的数学期望是多少？

经过一系列并不简单的计算，可以证明，答案是(N-1)^2。我的问题是，不知道对这个结果有没有更简短、更漂亮的解释？

（目前能想到的证明的大致过程：首先不妨假设最后所有小球的标记都变成1。令X_n=第n步后标记为1的小球个数，则X_n是Markov链。可以写出在“X_n在到达0之前先到达N”（即最后所有小球标记都为1）这个条件下的条件转移概率，进而列出过程X从不同的点出发，到达N所需步数的期望的递推方程，并解这个线性方程组。）